Entenda o que é progressão aritmética e como funciona!
A P.A. é cobrada em questões do Enem e vestibulares, além de ajudar a resolver situações do dia a dia
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A progressão aritmética (P.A.) é um dos temas que fazem parte dos estudos de matemática. Além de ser cobrada em questões do Exame Nacional do Ensino Médio (Enem) e outros vestibulares, a P.A. pode ser usada para resolver várias situações do dia a dia, como calcular o preço de uma corrida de táxi.
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A seguir, entenda o que é progressão aritmética, quais são os elementos principais de uma P.A., a fórmula do termo geral da P.A. e outros detalhes importantes sobre o assunto.
O que é progressão aritmética?
A progressão aritmética (P.A.) é uma sequência numérica que se comporta de maneira linear e que a diferença entre dois termos consecutivos resulta sempre no mesmo número.
Portanto, cada termo de uma sequência, a partir do segundo, é a soma do seu antecessor com uma constante r, chamada de razão da P.A.
Exemplo: (2, 5, 8, 11, 14, 17, 20, ...). A razão da P.A. é = 3.
Quando as progressões aritméticas têm um número determinado de termos é chamada de P.A. finita. Já quando tem um número infinito de termos é uma P.A infinita. Para indicar que uma sequência continua indefinidamente, são utilizadas as reticências.
Exemplo: (10, 8, 6, 4, ...)
Elementos principais de uma P.A.
Cada termo de uma progressão aritmética é identificado por uma letra (geralmente a) e por um número que indica a posição que o termo ocupa na sequência. O primeiro termo, por exemplo, é a1, o segundo é a2, e assim sucessivamente.
Sendo assim, os principais elementos de uma P.A. são:
- a1 = primeiro termo da P.A.
- r = razão da P.A.
- n = número de termos
Fórmula do Termo Geral da PA
Para encontrar os termos de uma progressão aritmética, é usada a fórmula do Termo Geral da P.A., que é:
an = a1 + (n−1) × r
onde:
- an: termo que queremos calcular
- a1: primeiro termo da P.A.
- n: posição que queremos calcular/descobrir
- r: razão da P.A.
Veja um exemplo de aplicação da fórmula:
Qual é o 30º termo da P.A. (2, 5, 8, 11,...)?
- a1 = 2
- r = 3
- n = 30
- a30 = ?
a30 = 2 + (30−1) × 3
a30 = 2 + (29) x 3
portanto:
a30 = 89
Classificação das progressões aritméticas
As progressões aritméticas são classificadas em três tipos: constante, crescente ou decrescente, conforme o valor da razão. Confira:
Crescente: uma P.A. crescente é quando a razão é maior que zero. Exemplo: (2, 5, 8, 11,...) a r = 3, ou seja, r > 0
Decrescente: uma P.A. decrescente é quando a razão é menor que zero. Exemplo: (10, 8, 6, 4,...) a r = - 2, ou seja, r < 0
Constante: uma P.A. constante é quando a razão é igual a zero. Exemplo: (5, 5, 5, 5,...) a r = 0
Soma dos Termos de uma P.A. finita
Para encontrar a soma dos termos de uma P.A. finita, é utilizada a seguinte fórmula:
Sn = ((a1 + an) X n)/2
- Sn = soma dos n termos da P.A.
- a1 = primeiro termo da P.A.
- an = ocupa a enésima posição na sequência (número que ocupa uma posição n)
- n = posição do termo
Exemplo:
Qual é a soma dos números pares de 2 até 100?
a1 = 2
an = 100
n = 50 (de 1 até 100, há 100 números, mas metade deles é par. Portanto, há 50 termos).
Sn = ((2 + 100) x 50)/2
Sn = ((102) x 50)/2
Sn = 5100/2
Sn = 2550
Para que usamos progressão aritmética e qual a sua importância?
A progressão aritmética pode ser aplicada para resolver diversas situações do cotidiano, a exemplo de orçamento familiar, medir a distância percorrida em uma corrida, calcular o preço de uma corrida de táxi, calcular juros em investimentos, entre outros casos. A P.A. também aparece em várias questões do Enem e vestibulares.
Fonte consultada: Rodney Luzio, coordenador e professor de matemática do Curso Anglo.
